Всеки контекстно свободен език ли е в клас на сложност P?
Въпросът дали всеки контекстно-свободен език (CFL) се намира в класа на сложност P е завладяваща тема в теорията на изчислителната сложност. За да се отговори изчерпателно на този въпрос, от съществено значение е да се разгледат дефинициите на контекстно-свободни езици, класът на сложност P и връзката между тези понятия.
Контекстно-свободният език е вид формален език, който може да бъде генериран от контекстно-свободна граматика (CFG). CFG е набор от производствени правила, които описват всички възможни низове на даден формален език. Всяко правило в CFG замества единичен нетерминален символ с низ от нетерминални и терминални символи. Безконтекстните езици са важни в компютърните науки, защото могат да опишат синтаксиса на повечето езици за програмиране и се разпознават от pushdown автомати.
Класът на сложност P се състои от проблеми с решение, които могат да бъдат решени от детерминирана машина на Тюринг за полиномиално време. Полиномиалното време, означено като O(n^k), където n е размерът на входа, а k е константа, представлява горна граница на времевата сложност на алгоритъма. Проблемите в P се считат за ефективно разрешими, тъй като времето, необходимо за решаването им, нараства с управляема скорост с увеличаване на входния размер.
За да определим дали всеки контекстно-свободен език е в P, трябва да проучим изчислителните ресурси, необходими, за да решим членството в контекстно-свободен език. Проблемът с решението за контекстно-свободен език обикновено се формулира по следния начин: даден низ w и контекстно-свободна граматика G, определете дали w може да бъде генериран от G.
Стандартният алгоритъм за определяне на принадлежност към контекстно-свободен език е алгоритъмът CYK (Cocke-Younger-Kasami), който е алгоритъм за динамично програмиране. CYK алгоритъмът работи за O(n^3) време, където n е дължината на входния низ. Тази сложност на кубичното време възниква, защото алгоритъмът конструира таблица за анализ, която има размери, пропорционални на дължината на входния низ и броя на нетерминалните символи в граматиката.
Като се има предвид, че CYK алгоритъмът работи в полиномиално време, следва, че проблемът с членството за контекстно-свободни езици може да бъде решен в полиномиално време. Следователно контекстно-свободните езици наистина са в класа на сложност P. Този резултат е важен, защото установява, че контекстно-свободните езици, които са по-изразителни от обикновените езици, все още могат да бъдат решавани ефективно.
За да илюстрираме това, разгледайте безконтекстния език L = {a^nb^n | n ≥ 0}, който се състои от низове с равен брой 'a', последвани от равен брой 'b'. Безконтекстна граматика за този език може да се дефинира, както следва:
S → aSb | ε
Тук S е началният символ, а ε представлява празния низ. CYK алгоритъмът може да се използва за определяне дали даден низ w принадлежи на L. Например, даден низ w = "aaabbb", алгоритъмът CYK ще конструира таблица за анализ, за да провери дали w може да бъде генериран от граматиката.
Освен това си струва да се отбележи, че някои контекстно-свободни езици могат да бъдат решени дори по-ефективно от общата времева сложност O(n^3) на алгоритъма CYK. Например, детерминистичните контекстно-свободни езици, които са подмножество от контекстно-свободни езици, разпознати от детерминистични натискащи автомати, често могат да бъдат решени за O(n) време. Тази линейна времева сложност възниква, защото детерминистичните автомати за натискане надолу имат по-ограничен изчислителен модел, позволяващ по-ефективни алгоритми за анализиране, като LR(k) или LL(k) парсерите, използвани в дизайна на компилатора.
Проблемът с членството за контекстно-свободни езици може да бъде решен за полиномиално време с помощта на алгоритми като алгоритъма CYK, поставяйки контекстно-свободните езици в класа на сложност P. Този резултат подчертава ефективността, с която могат да се обработват контекстно-свободните езици, правейки ги подходящ за приложения в анализа на синтаксиса на езика за програмиране и други области, където се изисква официално разпознаване на езика.
Други скорошни въпроси и отговори относно Сложност:
- Класът PSPACE не е ли равен на класа EXPSPACE?
- P класът на сложност подмножество на PSPACE клас ли е?
- Можем ли да докажем, че Np и P клас са едни и същи, като намерим ефективно полиномно решение за всеки NP пълен проблем на детерминистична TM?
- Може ли класът NP да бъде равен на класа EXPTIME?
- Има ли проблеми в PSPACE, за които не е известен NP алгоритъм?
- Може ли проблем със SAT да бъде пълен проблем с NP?
- Може ли проблемът да бъде в клас на сложност NP, ако има недетерминирана машина на Тюринг, която ще го реши за полиномиално време
- NP е класът езици, които имат полиномиални времеви верификатори
- P и NP всъщност един и същ клас на сложност ли са?
- Има ли противоречие между дефиницията на NP като клас задачи за решаване с верификатори за полиномиално време и факта, че проблемите в клас P също имат верификатори за полиномиално време?
Вижте още въпроси и отговори в Сложност